クラインの壺

　一昨日2008年3月22日土曜日の午前中、電車の中で考え付いたことを書いておきます。
　クラインの壺は、概念上のものであり、三次元空間では再現できないのではないか、と言う考えが頭の片隅にありました。これをなんとか解決する方法はないものか、と。そして手帳に図を描きながらふと思いついたのが、千歳飴のような棒でした。この千歳飴（円柱）は縦にして真上から見ると円です。その円の半分（半円）を表とし赤い色を塗ります。下半分のを裏（白色）とします。続いてこの千歳飴の両端を金槌で叩いて平たくします。宛ら紙のように。両側に水かきのついた櫂のような形のものが出来ます。これをメビウスの帯と同要領で円にして、両端は180度回転させて貼り付けます。そうすると、三次元のメビウスの帯ができます。こうすれば無限軌道ができるのではないか、と思った訳です。赤い面を歩いている蟻は、180度回転して貼り付けられた継ぎ目のところから白い面を歩くことになり、再度継ぎ目に到達すると今度は赤い面になる。
　一つ気になっていることがあります。二次元には厚みがあってはなりません。メビウスの帯はどんなに薄い紙で帯を作ろうが、それはミクロの世界では三次元の板になります。しかし、表面を歩いている分には、これは厚みはありません。同様に、千歳飴のメビウスの飴棒は、表面を歩いている分には厚みがなく、二次元です。この解釈でよいのかどうか、これが気になっています。

コメント 5

　面白い考え方だと思います。
　このモデルが正しいかどうかは、どんな課題を扱おうとしているのかによるのではないでしょうか。
　クラインの壺は、伸びた徳利の口がＵターンして側面を貫通する部分に反則を感じる（笑）人が多いのですが、少なくとも面方向の広がりをたどる限り、表面は内面に連続します。
　一方、千歳飴だとひとつの円柱面を赤白に塗り分けた時点で意識の都合による線引きをやっており、メビウスの輪が膨らんで曖昧になったと感じる方もおられると予想します。
　課題事象によって正誤が分かれると思いますよ。
by にすけん (2008-03-24 12:21) 

にすけん様　コメント有難うございます。また、考えておきます。
by アヨアン・イゴカー (2008-03-25 00:30) 

いやー文科系の私には全く分かりません(失礼）。
ただし、電車の中では色々考えごとはします。ただし、
つまらないことですが、、、。
by yoku (2008-03-25 19:53) 

こういう思考実験って楽しいですよね。私もよく電車の中でボーッといろいろ考えてます。

さて上の発想ですが、やはり１次元の位相しかひっくり返していないので、メビウスの環かな？と。mistletoeさんにも紹介したのですが最近見つけたこれが私的にはすとんとふに落ちました。一度見てみてください。
http://www2.neweb.ne.jp/wc/morikawa/sya.html
by すうちい (2008-03-27 17:28) 

むぅ～～～
文章から頭の中でビジュアル化してみましたが、
私のピスタチオ並の脳みそでは無理でした；
by mistletoe (2008-04-14 18:54)